搜索一個(gè)說明有限元法數(shù)學(xué)原理的簡(jiǎn)單實(shí)例
2017-03-23 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
在數(shù)學(xué)層面說明有限元法的數(shù)學(xué)原理并不是一件容易的事情,因?yàn)楫?dāng)涉及到二維或者三維維度時(shí),一個(gè)簡(jiǎn)單的問題都需要結(jié)合很多原理和公式來演算。為了讓大家對(duì)有限元法的數(shù)學(xué)原理有個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)和了解,今天給大家介紹一個(gè)通俗易懂的例子來說明有限元法的(FEM)的數(shù)學(xué)思想,希望對(duì)大家有所啟發(fā)。(在我共享的資料中,其中科羅拉多州立大學(xué)的有限元學(xué)習(xí)資料在開頭就有一個(gè)講得非常詳細(xì)的桁架結(jié)構(gòu)的有限元法的數(shù)學(xué)講解,大家可以仔細(xì)閱讀做為補(bǔ)充)。文末鏈接又給大家提供了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單但又通俗全面的有限元法的說明資料,大家可以下載閱讀。
如下圖所示,一個(gè)圓截面桿件一端固定,另一端施加拉力P,計(jì)算桿件的變形以及受到的應(yīng)力。
模型是一個(gè)簡(jiǎn)單的桿件,可以簡(jiǎn)化為1D單元,1D單元有不同類型,本例設(shè)定為桁架單元(truss element),只能承受軸向力。如下圖所示,為了方便計(jì)算,我們把桿件劃分為2個(gè)單元和3個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)a,b,c)。
其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都受到相應(yīng)的外力(由外部載荷P引起)和內(nèi)力l(由內(nèi)部應(yīng)力引起)。當(dāng)模型處于靜力學(xué)平衡時(shí)(static equilibrium),節(jié)點(diǎn)力(作用于節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和外力的合力)必須等于0,每個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力平衡如下圖所示:
假設(shè)桿件變形過程中伸長(zhǎng)量很小,對(duì)于單元1(element 1)的應(yīng)變有:
其中
和
分別為節(jié)點(diǎn)a和b的位移(displacement),L為單元1(element 1)的長(zhǎng)度。假設(shè)材料為彈性材料,楊氏模量為E(Young's Modulus),則由材料力學(xué)可得單元1的應(yīng)力:
作用于節(jié)點(diǎn)a的軸向力等于應(yīng)力乘以橫截面積(cross-sectional area),所以可以得到內(nèi)力、材料屬性以及位移的關(guān)系如下式:
由力學(xué)平衡可得:
即:
同樣的方法,運(yùn)用力學(xué)平衡和材料力學(xué)公式可以得到節(jié)點(diǎn)b的平衡式如下:
節(jié)點(diǎn)c的平衡式如下:
將節(jié)點(diǎn)a,b,c的平衡式寫成矩陣形式,得:
這樣,我們就得到了桿件的平衡方程,由于節(jié)點(diǎn)a固定,所以位移定于0,又聯(lián)立Pb=Pc=P,這樣我們就可以得到節(jié)點(diǎn)b和節(jié)點(diǎn)c的位移以及Pa,算出位移之后,我們就可以返回去算出應(yīng)力值。
其中EA/L就是我們常說的剛度,當(dāng)然在很多時(shí)候,每個(gè)單元的剛度并不一樣,如本例,如果兩個(gè)單元的長(zhǎng)度不一樣,則剛度也不一樣。當(dāng)剛度不一樣時(shí),設(shè)單元1和單元2的剛度分別為K1和K2,此時(shí)平衡方程有:
上面這個(gè)例子簡(jiǎn)單的說明了有限元法的數(shù)學(xué)原理,有限元法的核心思想就是離散化分割為有限個(gè)單元,將無窮轉(zhuǎn)化為有限。實(shí)際問題的計(jì)算并沒有這么簡(jiǎn)單,但思想是類似的,對(duì)力學(xué)問題來說,總可以列出形如下所示的外力和內(nèi)力平衡的方程:
更深入詳細(xì)的資料可以參看我前面共享的資料。
附件:http://pan.baidu.com/s/1eS5dCI2
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